نظریه_آشوب شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی رفتار آن دسته ازسیستم_دینامیک می‌پردازد که به شرایط اولیه حساس هستند. تعریف: در تصادفی بودن سیستم‌های پیچیده آشوبناک (Chaotic)، الگوهای اساسی، حلقه‌های فیدبک ثابت، تکرار، خودتشابهی، فراکتال‌ها و خودسازمان‌دهی وجود دارد. نظریه آشوب یک علمی برای پیش‌بینی رفتار سیستم‌های «ذاتاً غیر قابل پیش‌بینی» است.
شالوده اصلی نظریه آشوب این ایده است که نظم و آشوب همیشه مخالف و در مقابل هم نیستند. آشوب نامی است که اغلب به یک دینامیک غیرخطی اطلاق می‌شود. این عبارت برای توضیح رفتار پیچیده سیستم‌های اصطلاحاً ساده، خطی و خوش‌رفتار به کار می‌رود. رفتار آشوبی نامنظم و اغلب تصادفی به نظر می‌رسد و مشابه رفتار سیستمی است که شدیداً تحت تأثیر نویز خارجی تصادفی قرار گرفته است.
تعریف ریاضی آشوب: رفتار طولانی مدت غیرقابل پیش‌بینی در یک سیستم دینامیکی قطعی به دلیل حساسیت به شرایط اولیه است (که معمولاً به نام اثر پروانه‌ای نیز شناخته می‌شود).
نظریه آشوب به عنوان مطالعهکیفی رفتار نادوره‌ایناپایدار در سیستم‌های دینامیکیغیرخطیقطعی تعریف می‌شود.
آشوب در سیستم‌های بسیار ساده رخ می‌دهد که اغلب عاری از نویز هستند. در واقع، این سیستم‌ها اساساً «قطعی» (Deterministic) هستند؛ یعنی با دانش دقیق درباره شرایط اولیه سیستم، می‌توان رفتار آینده آن را پیش‌بینی کرد. در نتیجه، شاید بتوان آشوب را به عنوان یک نوسان کران‌دار، نادوره‌ای (غیرمتناوب) و نویزی تعریف کرد. یک سیستم قطعی رفتار تصادفی دارد، حتی اگر هیچ ورودی تصادفی نداشته باشد. در سیستم‌های غیرخطی ناپایدار اثرات عجیب متنوعی شامل زیرهمساز (Subharmonics)، نوسان‌های شبه‌متناوب (Quasiperiodic Oscillation) و رفتار آشوبناک (Chaotic) وجود دارند.
برخی از سیستم‌هایی که قطعی هستند و رفتار آشوبی دارند، عبارتند از: سیستم‌های جوّی، منظومه شمسی، صفحات زمین‌شناسی، جریان توربولانس، رشد جمعیت، مدارهای الکترونیک قدرت و…
ریشه‌های نظریه آشوب به هنری پوانکاره (Henry_Poincaré ) بر می‌گردد که سعی کرد یک مسئله حل نشده از مکانیک سماوی لاپلاسی نیوتنی (مسئله سه جسم) را حل کند. پوانکاره پی برد که امکان دارد مدارهایی وجود داشته باشند که نادوره‌ای بوده و دائماً در حال افزایش نیستند و یا به یک نقطه ثابت همگرا نمی‌شوند. طی این تحقیقات، پوانکاره پی برد که در سیستم‌های غیرخطی ممکن است بی‌نهایت رفتار پیچیده وجود داشته باشد. یکی از قدیمی‌ترین گزارش‌های تجربی درباره آشوب قطعی در سال ۱۹۲۷ در مجله علمی بریتانیایی ساینس (Science) چاپ شد. مهندس برق هلندی، بالتهاسار وان در پل (Balthasar_van_der_Pol ) و همکارش وان در مارک (van_der_Mark ) یک صدای نامنظم نویزی را از گوشی تلفن متصل شده به مدار یک لوله الکترونیکی شنیدند. نظریه آشوب تا حدودی از کار ادوارد لورنتس (Edward_Lorenz ) هواشناس دانشگاه ام‌آی‌تی نشئت می‌گیرد که الگوهای آب‌وهوا را در سال ۱۹۶۰ در رایانه شبیه‌سازی کرد. رایانه محدودیت حافظه داشت و لورنتس پس از مشاهده یک الگوی خاص، داده‌ها را بازگردانی و برنامه را از ابتدا اجرا می‌کرد، با این تفاوت که در این حالت، به جای آنکه مقادیر را تا ۶ رقم اعشار وارد کند، آن‌ها را تا ۳ رقم اعشار قرار می‌داد. او از اینکه نتایج در دو حالت کاملاً متفاوت بودند، شگفت‌زده شده بود. او مقاله‌ای با عنوان «پیش‌بینی پذیری: آیا بال زدن یک پروانه در برزیل گردبادی در تگزاس ایجاد می‌کند؟» (?Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set off a Tornado in Texas) و «اثر پروانه‌ای» (The Butterfly Effect) منتشر کرد.
دو مؤلفه اصلی نظریه آشوب ایده‌هایی است که سیستم‌ها - هرچقدر هم که پیچیده باشند - به یک نظریه اساسی متکی هستند و آن این است که سیستم‌ها و وقایع بسیار ساده یا کوچک می‌توانند باعث رفتارها یا حوادث بسیار پیچیده شوند. این ایده اخیر به عنوان «وابستگی حساس به شرایط اولیه» شناخته می‌شود که توسط ادوارد لورنتس کشف شد. این حساسیت به شرایط اولیه «اثر پروانه‌ای» (Butterfly Effect) نامیده می‌شود و طی چند دهه گذشته تحقیقاتی با عناوین مختلف نظریه آشوب، نظریه پیچیدگی، فرایندهای تصادفی و غیره درباره آن انجام شده است.
میچل فایگنباوم (Mitchell_Feigenbaum ) ویژگی عمومیت یا جهان‌شمولی آشوب (نظم در بی‌نظمی) را کشف کرد و موجب شد نظریه آشوب در بسیاری از پدیده‌های مختلف به کار رود. البته اصطلاح آشوب (Chaos) قبلاً توسط تین-یین (Tien-Yien) و جیمز یورک (James_A_Yorke ) در سال ۱۹۷۵ در مقاله‌ای با عنوان «Period Three Implies Chaos» معرفی شده بود. بدون شک، این مقاله در گسترش مفهوم آشوب تأثیر زیادی داشت. عامل اصلی توسعه نظریه آشوب کامپیوتر بود. بخش اعظم ریاضیات نظریه آشوب شامل تکرار فرمول‌های ریاضی ساده است که انجام دستی آن کاری نشدنی است. رایانه‌ها این محاسبات مکرر را عملی و ارقام و تصاویر امکان تجسم این سیستم‌ها را فراهم آوردند.
نظریه آشوب به دو دلیل دانشمندان و مهندسان را مجذوب خود کرده است:
- نظریه آشوب ابزارهای نظری و تجربی را برای دسته‌بندی و درک رفتار پیچیده‌ای ارائه می‌کند که سایر نظریه‌ها در آن‌ها کارایی ندارند.
- آشوب جهان‌شمول است؛ یعنی در نوسان‌سازهای مکانیکی، مدارهای الکتریکی، واکنش‌های شیمیایی، سیستم‌های اپتیکی، سلول‌های عصبی، لیزرها و… کاربرد دارد.
رفتار آشوبی ویژگی‌های جهانی کمی و کیفی باورنکردنی را نشان می‌دهد. این ویژگی‌های جهانی مستقل از جزئیات سیستم هستند. جهانی بودن بدین معنی است که آنچه را از مطالعه رفتار آشوبی یک نوسان‌ساز مکانیکی در می‌یابیم، می‌توانیم سریعاً برای درک رفتار آشوبی سایر سیستم‌ها به کار ببریم. (🤔)
سیستم‌های دینامیکی آشوبی مشخصه‌های زیر را دارند:
- نسبت به شرایط اولیه حساس هستند.
- چرخش متناوب آن‌ها متراکم است.
- از نظر توپولوژیکی با هم ترکیب می‌شوند. حساسیت به شرایط اولیه به این معنی است که یک اغتشاش کوچک در مسیر فعلی ممکن است منجر به رفتار بسیار متفاوت در آینده شود. ترکیب توپولوژیکی نیز بدین معناست که با گذشت زمان، سیستم به طوری تکامل می‌یابد که هر ناحیه یا مجموعه باز از فضای فاز آن، در نهایت با هر ناحیه معین دیگری همپوشانی داشته باشد.
واژه آشوب اصطلاحی است که برای توصیف رفتار پیچیده سیستم‌های دینامیکی به کار می‌رود. آشوب در حقیقت یکی از انواع رفتارهای این سیستم‌ها است. زیرهمساز و شبه‌تناوب از انواع دیگر رفتارها در این سیستم‌ها هستند. این شاخه از علم به طور عمومی‌تر «دینامیک غیرخطی» (Nonlinear Dynamics) نامیده می‌شود که در آن، رفتار دینامیکی (یعنی رفتار زمانی) یک سیستم غیرخطی بررسی می‌شود.
یکی از اصول ابتدایی علم این است که سیستم‌های قطعی قابل پیش‌بینی هستند، یعنی برای شرایط اولیه داده شده و معادلات توصیف کننده سیستم، برای همه زمان‌ها می‌توان رفتار سیستم را پیش‌بینی کرد. کشف سیستم‌های سیستم‌های آشوبی این دیدگاه را نقض کرد. به بیان ساده‌تر، یک سیستم آشوبی سیستمی قطعی است که رفتار تصادفی دارد. آشوب رفتار «عجیب» یا «شگفت» (Strange) نیز نامیده می‌شود و یکی از موضوعات بسیار جذاب در پژوهش سیستم‌های غیرخطی است.
اگر یک سیستم دینامیکی رفتار آشوبی از خود نشان دهد، غیرخطی خواهد بود. عنصر اصلی برای درک آشوب مفهوم غیرخطی بودن است. دینامیک غیرخطی به مطالعه سیستم‌هایی می‌پردازد که در آن‌ها معادلات غیرخطی هستند. همه سیستم‌های واقعی، حداقل تا حدودی غیرخطی هستند. برخی از تغییرات ناگهانی و چشمگیر در سیستم‌های غیرخطی ممکن است رفتار پیچیده‌ای به نام آشوب ایجاد کند. کلمات آشوب و آشوبی (آشوبناک) برای توصیف رفتار زمانی یک سیستم استفاده می‌شود که رفتار آن نادوره‌ای است (هرگز به طور کامل تکرار نمی‌شود) و «ظاهراً» تصادفی یا نویزی است. در پس این تصادفی بودن آشوبی، نظمی وجود دارد که توسط معادلات سیستم تعیین می‌شود. در واقع، بسیاری از سیستم های آشوبی کاملاً قطعی هستند. سیستمی را قطعی می‌گوییم که رفتارهای بعدی سیستم به طور کامل قابل تعیین باشند، یعنی سیستمی که در آن، حالت‌های بعدی از موارد قبلی پیروی می‌کند یا توسط آن‌ها تعیین می‌شود. چنین سیستمی در مقابل «سیستم تصادفی» است که در آن حالت‌های آینده از حالت‌های قبلی مشخص نمی‌شوند.
اگر یک سیستم قطعی باشد، لزوماً به این معنی نیست که حالت‌های بعدی آن با آگاهی از موارد قبلی قابل پیش‌بینی هستند. به این ترتیب، آشوب مشابه یک سیستم تصادفی است. به عنوان مثال، آشوب «آشوب قطعی» نامیده می‌شود، زیرا اگرچه توسط قوانین ساده تعیین می‌شود، اما خاصیت وابستگی حساس آن به شرایط اولیه باعث می‌شود که یک سیستم آشوبی، در عمل، تا حد زیادی غیرقابل پیش‌بینی باشد. از این رو، رفتار غیرقابل پیش‌بینی سیستم قطعی «آشوب» نامیده می‌شود. هسته اصلی مسئله هماهنگ کردن این قطعیت با تصادفی بودن ظاهری است.
تعیین تصادفی یا آشوبی بودن یک سیستم یا فرایند فیزیکی از روی داده‌ها کار دشواری است، زیرا در عمل هیچ سری زمانی از «سیگنال خالص» تشکیل نشده است. همیشه نوعی نویز مزاحم وجود دارد، حتی اگر خطای گرد کردن باشد. بنابراین، هر سری زمانی حقیقی حتی اگر غالباً قطعی باشد، مقداری تصادفی بودن خواهد داشت.
ریاضی‌دانان روش‌های دیگری را برای کمی‌سازی توصیف سیستم‌های آشوبی بیان کرده‌اند. این روش‌ها عبارتند از: بعد فراکتالی جاذب، نماهای لیاپانوف، نمودارهای تکرارشونده، نگاشت‌های پوانکاره، نمودارهای انشعاب یا دوشاخگی و عملگر انتقال
معادله لجستیک که «مدل ورهاست» (Verhulst Model) نیز نام دارد، به صورت زیر است:
